Eine fast über­all dif­fe­ren­zier­ba­re Ober­flä­che (eine Ober­flä­che, die bis auf ein paar Kan­ten glatt ist), für die für jeden Punkt auch eine Stre­cke po­si­ti­ver Länge, die die­sen Punkt ent­hält, Teil der Ober­flä­che ist (eine Re­gel­flä­che), lässt sich auf­schnei­den und glatt aus­brei­ten (ist also eine ab­wi­ckel­ba­re Flä­che), was prak­tisch ist, wenn wir Kar­ten die­ser Ober­flä­che er­stel­len wol­len. Po­ly­e­der be­sit­zen tri­via­ler­wei­se diese Ei­gen­schaft, aber auch Zy­lin­der oder Kegel oder ein Mö­bi­us­band oder ein Oloid, wes­halb sich diese Ge­bil­de al­le­samt aus Pa­pier bas­teln las­sen.

Eine Sphä­re, eine Ku­ge­lober­flä­che da­ge­gen ist keine Re­gel­fä­che und lässt sich nicht aus­brei­ten. Wenn wir von einer Sphä­re eine Karte zeich­nen wol­len – etwa von der Erd­ober­flä­che – dann lässt es sich nicht ver­mei­den, dass diese Karte Ver­zer­run­gen ent­hält.

Es gibt ver­schie­de­ne An­sät­ze, diese Ver­zer­run­gen zu mi­ni­mie­ren, je nach Auf­ga­ben­stel­lung. Aus po­li­ti­schen Grün­den kann es wün­schens­wert sein, eine flä­chen­treue Karte zu be­sit­zen, bei der Flä­chen glei­cher Größe auf Flä­chen glei­cher Größe ab­ge­bil­det wer­den und nicht nach der Ab­bil­dung von zwei ur­sprüng­lich gleich gro­ßen Län­dern eines auf ein­mal dop­pelt so groß ist wie das an­de­re. Eine an­de­re nütz­li­che Ei­gen­schaft ist, wenn die Re­la­tio­nen der Ent­fer­nun­gen zwi­schen Punk­ten der Ober­flä­che ge­wahrt blei­ben, wenn wir also aus der Karte ab­le­sen kön­nen, wie weit zwei Städ­te von­ein­an­der ent­fernt sind, denn für lo­gis­ti­sche Pla­nun­gen in­ter­es­sie­ren wir uns na­tur­ge­mäß vor allem für der­ar­ti­ge Ent­fer­nun­gen. Noch eine an­de­re nütz­li­che Ei­gen­schaft ist es, wenn durch die Ab­bil­dung Win­kel be­wahrt wer­den: dann näm­lich kann etwa ein Fun­ker (oder die Be­sit­ze­rin von In­ter­kon­ti­nen­tal­ra­ke­ten) aus der Karte ab­le­sen, in wel­chem Win­kel Nord­pol, ei­ge­ne Stadt und eine frem­de Stadt zu­ein­an­der ste­hen, und kann aus die­ser In­for­ma­ti­on ab­le­sen, in wel­che Rich­tung er seine An­ten­ne aus­rich­ten muss (oder in wel­che Rich­tung sie ihre Ra­ke­ten los­schi­cken muss). Es ist aber für eine Ku­ge­lober­flä­che nicht mög­lich, all diese For­de­run­gen gleich­zei­tig zu er­fül­len und eine Karte zu er­stel­len, die flä­chen-, stre­cken- und win­keltreu ist. Wir kön­nen na­tür­lich auch alle drei For­de­run­gen mit ver­schie­de­nen Ge­wich­ten ver­se­hen und eine Karte er­stel­len, die jede die­ser drei For­de­run­gen ver­schie­den stark ver­letzt.

Die Te­tra­po­den (die Land­wir­bel­tie­re) be­sit­zen, wie der Name be­reits an­deu­tet, vier Glied­ma­ßen, außer in jenen Fäl­len wie etwa den Schlan­gen, in denen Glied­ma­ßen im Laufe der Ent­wick­lungs­ge­schich­te ver­lo­ren gin­gen. Der braun­ro­te an­geb­li­che Vogel Ti-tschiang, der in den himm­li­schen Ber­gen lebt, hat sechs Füße und vier Flü­gel; also kann er kein Vogel sein, da er kein Te­tra­pod ist und alle Vögel Te­tra­po­den. Ein Dra­che mit vier Bei­nen und zwei Flü­geln ist eben­falls kein Te­tra­pod, und auch ein Engel mit zwei Bei­nen, zwei Armen und zwei Flü­geln nicht. Der Bau­plan der Te­tra­po­den er­laubt nur be­stimm­te Mög­lich­kei­ten: zwei Bein­paa­re, oder ein Bein­paar und ein Arm­paar, oder ein Bein­paar und ein Flü­gel­paar. Der Gang der Fle­der­mäu­se legt den Ge­dan­ken nahe, sie könn­ten von einem zwei­ten Bein­paar pro­fi­tie­ren, wäh­rend man­che Vögel wir­ken, als käme ihnen ein Paar Hände ge­le­gen. Wir kön­nen uns vor­stel­len, auf einem an­de­ren Pla­ne­ten sei der erste Fisch, der an Land ge­kro­chen ist (be­zie­hungs­wei­se das dor­ti­ge Pen­dant zu un­se­ren Fi­schen), ein He­xa­pod ge­we­sen, unter des­sen Nach­fah­ren wir dann Elfen, Engel, Feen oder an­de­re men­schen­ähn­li­che Wesen mit Flü­geln fin­den, aber un­se­re Welt scheint sol­che Wun­der nicht zu bie­ten.

1971 wurde das bis­her ein­zi­ge, 230 Mil­lio­nen Jahre alte Fos­sil von Sharo­vip­te­ryx mi­ra­bi­lis ge­fun­den, das so aus­sieht:

Word ver­fügt über einen ein­ge­bau­ten Me­cha­nis­mus, ge­ra­de An­füh­rungs­zei­chen mit­tels einer Heu­ris­tik in ty­po­gra­fi­sche An­füh­rungs­zei­chen zu ver­wan­deln, aber von die­ser Mög­lich­keit mache ich un­gern Ge­brauch, da ich mich scheue, Ma­schi­nen das Den­ken zu über­las­sen. Zum einen fürch­te ich, sie könn­ten sonst eines Tages ver­su­chen, die Welt­herr­schaft zu er­rin­gen und die Mensch­heit zu ver­skla­ven. Zum an­de­ren ist eine sol­che Heu­ris­tik nicht sehr ver­läss­lich. Ich habe also seit ur­denk­li­chen Zei­ten bei Word die Tas­ten­zu­ord­nung, dass Alt+8 ein „ pro­du­ziert und Alt+9 ein “. Warum ge­ra­de diese Tas­ten? Weil die Tas­ten für 8 und 9 be­reits für runde und ecki­ge Klam­mern ste­hen, und An­füh­rungs­zei­chen haben eine ähn­li­che Funk­ti­on wie Klam­mern, indem sie etwas ein­schlie­ßen. Au­ßer­dem steht bei mir Alt+0 für ”, bei einem eng­li­schen Test muss ich dann näm­lich nur Alt+8,Alt+9 durch Alt+9,Alt+0 er­set­zen (also auf der Tas­ta­tur eine Taste nach rechts rut­schen), um An­füh­rungs­zei­chen zu er­zeu­gen. Und Alt+6 er­zeugt einen Apo­stroph, weil ein Apo­stroph ja ein bissc̈hen wie eine Sechs aus­sieht.

Zum ge­bräuch­li­chen Stan­dard­set von Rol­len­spiel­wür­feln ge­hört ein zehn­sei­ti­ges Tra­pe­zo­eder, das aus zehn Dra­chen­flä­chen be­steht und dual zu einem pen­tago­na­len An­ti­pris­ma ist. Wir kön­nen die Höhe die­ses Wür­fels be­lie­big ver­än­dern, ohne die Is­ohe­drie zu zer­stö­ren. Ein sol­cher Wür­fel hat zwei ver­schie­de­ne Arten von Kan­ten; wir kön­nen seine Höhe so wäh­len, dass der Kan­ten­win­kel der län­ge­ren Kan­ten ge­ra­de ein Drit­tel eines Voll­krei­ses ist.

Also: in der vor­an­ge­gan­ge­nen Skiz­ze habe ich ver­sucht, xkcd zu si­mu­lie­ren, und nun werde ich ver­su­chen, den Witz zu er­klä­ren. Eine mo­no­phy­le­ti­sche Grup­pe oder Mo­no­phyl­um ist die Menge von Le­be­we­sen be­zie­hungs­wei­se von bio­lo­gi­schen Ta­xo­nen, die sich da­durch de­fi­nie­ren las­sen, dass sie die Menge aller Nach­fah­ren eines ge­mein­sa­men Vor­fah­ren sind. Nach allem, was wir wis­sen, schei­nen Schim­pan­sen näher mit Men­schen als mit Go­ril­las ver­wandt zu sein. Dem­nach bil­den Men­schen und Schim­pan­sen eine mo­no­phy­le­ti­sche Grup­pe, näm­lich die Grup­pe aller Nach­fah­ren des letz­ten ge­mein­sa­men Vor­fah­ren von Men­schen und Schim­pan­sen. Eben­so bil­den Men­schen, Schim­pan­sen und Go­ril­las eine mo­no­phy­le­ti­sche Grup­pe, näm­lich die Grup­pe der Nach­fah­ren des letz­ten ge­mein­sa­men Vor­fah­ren von Men­schen, Schim­pan­sen und Go­ril­las. Schim­pan­sen und Go­ril­las da­ge­gen bil­den zu­sam­men keine mo­no­phy­le­ti­sche Grup­pe: in die­ser Grup­pe feh­len Nach­fah­ren des letz­ten ge­mein­sa­men Vor­fah­ren, näm­lich wir Men­schen. Eine sol­che Grup­pe, die man­che, aber nicht alle Nach­fah­ren eines ge­mein­sa­men Vor­fah­ren ent­hält, heißt pa­ra­phy­le­tisch. Au­ßer­dem gibt es noch po­ly­phy­le­ti­sche Grup­pen: das sind sol­che Grup­pen, bei denen der ge­mein­sa­me Vor­fah­re nicht Teil der Grup­pe ist. So wäre etwa die Grup­pe der „Warm­blü­ter“ oder der „Le­bend­ge­bä­rer“ po­ly­phy­le­tisch, da sich die Warm­blü­tig­keit von Vö­geln und Säu­ge­tie­ren oder das Le­bend­ge­bä­ren von Men­schen und be­stimm­ten Skor­pio­nar­ten ge­trennt von­ein­an­der ent­wi­ckelt hat (es han­delt sich bei die­sen Merk­ma­len nicht um Syn­a­po­mor­phi­en, ge­teil­ten Merk­ma­len, die auch schon der ge­mein­sa­me Vor­fah­re be­ses­sen hat, son­dern um Ho­mo­pla­si­en, ge­teil­ten Merk­ma­len, die sich in ver­schie­de­nen Li­ni­en un­ab­hän­gig von­ein­an­der ent­wi­ckelt haben).

Nach tra­di­tio­nel­ler Ta­xo­no­mie gibt es die „Klas­se“ der Rep­ti­li­en und die „Klas­se“ der Vögel (in­ner­halb des „Stam­mes“ der Wir­bel­tie­re). Da Vögel je­doch Nach­fah­ren von Di­no­sau­ri­ern sind, und damit Nach­fah­ren von Rep­ti­li­en, müss­te eine mo­no­phy­le­ti­sche De­fi­ni­ti­on von Rep­ti­li­en auch Vögel um­fas­sen; oder um­ge­kehrt, wenn Vögel keine Rep­ti­li­en sind, dann sind Rep­ti­li­en eine pa­ra­phy­le­ti­sche Grup­pe.

Wäre die­ses Blog xkcd, dann sähe die­ser Ein­trag ver­mut­lich so aus: