2012-04-07Stubsmütter und TribonacciIn einer früheren Skizze, nämlich „Würfel 9: Archimedische Interpolationen“, habe ich eine vereinfachte Variante der Wythoff-Konstruktion beschrieben, mit der sich bestimmte eckentransitive Polyeder erzeugen lassen. Und in einer späteren Skizze, nämlich „Würfel 24: Stupse und scaliforme Polytope“, habe ich erklärt, wie sich aus Polytopen mit bipartiten Kantengraphen neue Polytope, nämlich Snubs, erzeugen lassen. Zu diesem Thema würde ich gerne noch einmal zurück kehren, aber zuerst werde ich die wichtigsten Ergebnisse noch einmal wiederholen, für den unwahrscheinlichen Fall, dass jemand diese Skizze hier liest und mit Begriffen wie „eckentransitiver Polyeder“ oder „bipartiter Kantengraph“ nichts anfangen kann. Wir beginnen mit einem Würfel, der auf jeder Seite 8 Punkte besitzt, die anfangs in der Mitte des Quadrats sitzen. Nun können wir Paare von Punkten um einen Betrag \(a\) (roter Pfeil) in Richtung Kante verschieben, und anschließend jedes Punktepaar um einen Betrag \(b\) (blauer Pfeil) auseinander rücken:
Wir erhalten damit 6•8 = 48 Punkte, deren konvexe Hülle ein neues Polyeder ist, und zwar eines, das auf solche Art und Weise symmetrisch ist, dass alle 48 Punkte untereinander austauschbar sind, anders gesagt, für alle möglichen Werte von \(a\) und \(b\) erhalten wir jeweils ein eckentransitives Polyeder. Die Menge sämtlicher möglicher Werte von \(a\) und \(b\) können wir uns als ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck vorstellen, wobei jeder Punkt dieses Dreiecks einem eckentransitiven Polyeder mit Symmetriegruppe \(O_h\) entspricht (die Symmetriegruppe \(O_h\) ist die Symmetriegruppe von Hexaeder und Oktaeder). Für sieben besondere Punkte im \(a\)-\(b\)-Dreieck erhalten wir außerdem Polyeder, deren Flächen alle regulär sind, und eckentransitive Polyeder mit regulären Flächen heißen „uniform“.
Eine ähnliche Konstruktion lässt sich auch für Tetraeder und Dodekaeder statt Hexaeder durchführen, und sie lässt sich sogar für höhere Dimensionen verallgemeinern. So viel zu den archimedischen Interpolationen, nun zu den Snubs oder Stubsen. Bei einem Polyeder, dessen Flächen aus lauter Polygonen mit einer geraden Anzahl von Ecken bestehen, wie das etwa bei dem gekappten Cuboktaeder mit sechs Achtecken, acht Sechsecken und zwölf Quadraten der Fall ist, können wir die Ecken in weiße und schwarze Ecken aufteilen derart, dass eine weiße Ecke nur schwarze Ecken als Nachbarn hat, und umgekehrt. Wir können nun ein neues Polyeder bilden, indem wir entweder alle weißen oder alle schwarzen Ecken zerstören und die konvexe Hülle der verbleibenden Ecken bilden.
In dieser Abbildung habe ich als Ausgangspunkt das uniforme gekappte Cuboktaeder gewählt, und in meiner ursprünglichen Skizze schrieb ich: „Die gelben Dreiecke sind nicht gleichseitig, aber auch hier können wir diesen Defekt leicht ausgleichen, indem wir die Ecken ein klein wenig verschieben und zu kurz geratene Kanten auseinander ziehen.“ Es ist aber gar nicht zwingend nötig, die Konstruktion mit einem uniformen beschnittenen Cuboktaeder zu beginnen, dessen halbierte Eckenbipartition zu einem Gebilde mit ungleichseitigen Dreiecken führt. Durch eine geeignete Wahl der Parameter \(a\) und \(b\) können wir ein anderes eckentransitives Polyeder finden, ein nicht-uniformes beschnittenes Cuboktaeder, dessen halbierte Eckenbipartition unmittelbar uniform ist.
Innerhalb der \(a\)-\(b\)-Parameterebene liegt dieses Polyeder, das ich „die Stubsmutter der Symmetriegruppe \(O_h\)“ nenne, ein klein wenig vom uniformen beschnittenen Cuboktaeder entfernt. Es liegt auf keiner der Verbindungsgeraden der eckentransitiven Polyeder der Symmetriegruppe \(O_h\), was bedeutet, dass keine seiner Seitenflächen regulär ist.
Das folgende Schaubild zeigt nochmals Stubsmutter und Stubs, wie sie miteinander zusammen hängen. Dabei verwende ich WebGL (und natürlich Javascript), und das ganze Gebilde lässt sich mit der Maus drehen.
Es stellt sich die Frage, welche Werte die Parameter \(a\) und \(b\) der Stubsmutter annehmen, wenn wir annehmen, dass sie für ein reguläres Hexaeder die Werte \(a=b=1\) annehmen und für ein reguläres Oktaeder die Werte \(a=b=0\). Und die halbwegs verblüffende Antwort ist, dass die \(a\)-\(b\)-Parameter dieser Stubsmutter mit der Tribonacci-Konstante zusammen hängen. Um aber nun zu erklären, was die Tribonacci-Konstante ist, muss ich erst einmal erklären, was die Fibonacci-Konstante ist, und dazu muss ich erst einmal erklären, was die Fibonacci-Folge ist.
Die Fibonacci-Folge ist folgendermaßen definiert: die ersten beiden Folgenglieder sind \(f_0=0\) und \(f_1=1\), und für alle weiteren Folgenglieder mit \(n\gt1\) gilt: \[f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\] Die ersten Glieder der Folge sind dementsprechend 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Die Folge steigt „irgendwie exponentiell“ an. Dieses „irgendwie“ können wir etwas genauer ausdrücken: das Verhältnis \(f_{n+1}/f_n\) strebt für wachsendes \(n\) gegen einen festen Grenzwert \(\Phi\), und die Folge verhält sich asymptotisch mit wachsendem \(n\) wie \(\Phi^n\). Der Wert \(\Phi\) lässt sich leicht ausrechnen: es ist asymptotisch \(f_{n-1}=\Phi\cdot{}f_{n-2}\) und \(f_n=\Phi^2\cdot{}f_{n-2}\), und dementsprechend \[\begin{eqnarray}f_n&=&f_{n-1}+f_{n-2}\\\Rule{0px}{28px}{0px}\Phi^2\cdot{}f_{n-2}&=&\Phi\cdot{}f_{n-2}+f_{n-2}\\\Rule{0px}{28px}{0px}\Phi^2&=&\Phi+1\end{eqnarray}\] Nun müssen wir nur noch eine quadratische Gleichung lösen, und wir erhalten als positive Lösung: \[\Phi=\frac{\sqrt5+1}2\] Diese Zahl heißt „Goldener Schnitt“ und taucht an verschiedenen Stellen sowohl in der Geometrie als auch in der Natur auf. Es gibt einige Menschen, die einen Sport daraus machen, \(\Phi\) an den erstaunlichsten Stellen aufzuspüren, allerdings geht diese Beschäftigung des Öfteren in Apophänie und esoterischen Blödsinn über. Bei den platonischen Körpern lässt sich in verschiedenen Zusammenhängen der goldene Schnitt entdecken, da allerdings das Verhältnis von Sehne und Kante eines regulären Fünfecks gerade der goldene Schnitt ist, ist das nicht übermäßig verwunderlich. Das Schema zur Bildung der Fibonacci-Folge lässt sich leicht auf verschiedene Arten abwandeln. Eine der einfachsten und naheliegendsten Abwandlungen besteht darin, die Summe der letzten drei statt der Summe der letzten beiden Folgenglieder zu bilden, um das nächste Folgenglied zu ermitteln. Die sich so ergebende Folge heißt „Tribonacci-Folge“, und die ersten Glieder der Folge sind 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, … . Auch diese Folge steigt wieder asymptotisch exponentiell an, und wieder können wir nach dem asymptotischen Quotienten \(T\) aufeinanderfolgender Glieder fragen, und mit einem ähnlichen Argument erhalten wir \[T^3=T^2+T+1\] Diese Gleichung dritten Grades lässt sich noch halbwegs mit vertretbarem Aufwand lösen und ergibt für \(T\) den Wert \[T=\frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}3\] Numerisch ist das die Zahl 1,83928675521416113255185256… . Diese Zahl \(T\), die „Tribonacci-Konstante“, ist weit weniger bekannt als der goldene Schnitt. Sie taucht bei einigen kombinatorischen Problemen auf, allerdings ist ihre Definition immer noch einfach genug, dass ihr Auftauchen in unterschiedlichen Problemen nicht zwingend auf einen inneren und inhaltlichen Zusammenhang dieser Probleme schließen lässt. Jedenfalls erhalten wir für die Stubsmutter die Werte \[\begin{eqnarray}a&=&T^{-1}\\b&=&T^{-2}\end{eqnarray}\] Wir können das auch so ausdrücken: die Ecken der Stubsmutter der Symmetriegruppe \(O_h\) sind die 48 Permutationen von Punkten der Form \[\left(\pm1,\pm{}T,\pm{}T^2\right)\] Für die \(a\)-\(b\)-Darstellung gehe ich von einem umschließenden Würfel der Kantenlänge 2 aus, so dass dafür diese Punkte noch mit dem Faktor \(T^{-2}\) skaliert werden müssen, aber diese Skalierung ist natürlich ziemlich willkürlich und unwesentlich. Das Stubs selbst hat natürlich nur halb so viele Ecken wie seine Stubsmutter, also 24 Ecken mit Koordinaten dieser Form, und zwar solche mit entweder nur geraden oder nur ungeraden Permutationen der Grundform der Koordinaten, je nachdem, ob es sich um das rechtshändige oder linkshändige Stubs handelt. Eine gerade (bzw. ungerade) Permutation ist eine Permutation, die sich aus einer geraden (bzw. ungeraden) Zahl elementarer Permutationen zusammen setzen lässt, nämlich in unserem Fall dem Vertauschen zweier Koordinaten und dem Wechsel eines Vorzeichens. Eine alternative Formulierung wäre: die Koordinaten eines Stubs entstehen, wenn wir eine gerade Anzahl von Vertauschungen der Koordinaten mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen oder eine ungerade Anzahl von Vertauschungen der Koordinaten mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen kombinieren. Die anderen 24 Ecken sind die Ecken des spiegelbildlichen (oder „enantiomorphen“) Stubs. Die beiden Stubse selbst haben, als chirale Polyeder, die Symmetriegruppe \(O\), während die Stubsmutter amphichiral (mit ihrem eigenen Spiegelbild identisch) ist. Einer der dreizehn archimedischen Körper hängt damit auf das Engste mit der Tribonacci-Konstante zusammen, und damit stellt sich die Frage, wie dieser Zusammenhang zustande kommt. Für gewöhnlich drücke ich mich bei diesen im lockeren Plauderton gehaltenen Skizzen ja um Beweise herum, aber in diesem Fall kann ein Beweis, dass die Punkte des Stubs gerade die Form gerader Permutationen der Koordinaten \(\left(\pm1,\pm{}T,\pm{}T^2\right)\) beziehungsweise nach entsprechender Skalierung von \(\left(\pm{}T^{-2},\pm{}T^{-1},\pm1\right)\) besitzen, ein wenig Licht auf die Frage werfen, wieso in diesen Koordinaten die Tribonacci-Konstante auftaucht. Glücklicherweise lässt sich ein solcher Beweis recht einfach mit elementaren Mitteln führen. Zunächst einmal haben offensichtlich alle Polyeder, die sich durch \(a\)-\(b\)-Verschiebungen innerhalb von Würfelseiten konstruieren lassen, Ecken mit Koordinaten, die Permutationen der Koordinaten \(\left(\pm{}a,\pm{}b,\pm1\right)\) sind. Wir können nun drei dieser Ecken herausgreifen, die im Stubs zu Ecken eines Dreiecks werden, etwa die drei Ecken \[\begin{eqnarray}P_1&=&\left(a,b,1\right)\\P_2&=&\left(-b,a,1\right)\\P_3&=&\left(b,1,a\right)\end{eqnarray}\] Nun suchen wir Werte \(a\) und \(b\) derart, dass dieses Dreieck gleichseitig wird, das heißt, es soll gelten \[\overline{P_1P_2}=\overline{P_2P_3}=\overline{P_3P_1}\] Damit haben wir zwei Gleichungen und zwei Unbekannte und können lösen: \[\begin{eqnarray}\overline{P_1P_2}&=&\overline{P_3P_1}\\\Rule{0px}{32px}{0px}2a^2+2b^2&=&2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\\\Rule{0px}{32px}{0px}b&=&\frac{1-a}{1+a}\\\Rule{0px}{48px}{0px}\overline{P_1P_2}&=&\overline{P_2P_3}\\\Rule{0px}{32px}{0px}2a^2+2b^2&=&4b^2+2a^2-4a+2\\\Rule{0px}{32px}{0px}b^2-2a+1&=&0\\\Rule{0px}{42px}{0px}\left(\frac{1-a}{1+a}\right)^2-2a+1&=&0\\\Rule{0px}{32px}{0px}1&=&a+a^2+a^3\end{eqnarray}\] Aus der letzten Zeile ergibt sich aber sofort, dass \(a\) der Kehrwert von \(T\) sein muss, da \[\begin{eqnarray}a^{-3}&=&a^{-2}+a^{-1}+1\\\Rule{0px}{32px}{0px}T^3&=&T^2+T+1\end{eqnarray}\] Außerdem folgt aus \(1=a+a^2+a^3\) auch \(a^2=\frac{1-a}{1+a}\) und damit \(b=a^2\). Damit haben wir gezeigt, dass die Ecken der Stubsmutter tatsächlich Permutationen von \(\left(\pm{}T^{-2},\pm{}T^{-1},\pm1\right)\) beziehungsweise die Ecken des Stubs die geraden Permutationen dieser Koordinaten sind. Es wird damit auch klar, dass der Zusammenhang sich dadurch ergibt, dass wir ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen haben, wobei die einzelnen Gleichungen auf euklidischen Abständen beruhen, bei denen die einzelnen Terme quadriert werden, so dass die Parameter \(a\) und \(b\) Lösungen von Gleichungen höchsten vierten Grades und in diesem Fall sogar nur dritten Grades sind.
Die Konstruktion eines Stubs durch Eliminierung einer Eckenpartition eines Polyeders mit bipartitem Eckengraphen lässt sich nicht nur für die Symmetriegruppe des Polyeders \(\left\{4,3\right\}\) durchführen, sondern allgemein für Kachelungen der Sphäre, der euklidischen oder der hyperbolischen Ebene der Form \(\left\{n,3\right\}\):
Für die Symmetriegruppe \(T_h\) würden wir an sich einen chiralen Stubs mit Symmetriegruppe \(T\) erwarten. Tatsächlich ist der Stubs dieser Symmetriegruppe allerdings gerade das amphichirale Ikosaeder (mit Symmetriegruppe \(I_h\)):
Die Größe der zugehörigen Parameter \(a\) und \(b\) hängen davon ab, welche Kantenlänge das Ausgangstetraeder hat. In meiner ursprünglichen Skizze bin ich davon ausgegangen, dass \(a\) in allen Fällen maximal die Länge 1 annehmen kann, und für die Symmetriegruppe \(T_h\) bedeutet das, dass \(b\) höchstens den Wert \(\sqrt{3}\) annehmen kann. Im Folgenden finde ich es jedoch einfacher, das \(a\)-\(b\)-Dreieck so zu normieren, dass \(a\) maximal den Wert \(\frac13\sqrt{3}\) und \(b\) maximal den Wert 1 annehmen kann. In diesem Fall ist für die Stubsmutter \[\begin{eqnarray}a&=&\frac5{\sqrt3\left(5+3\sqrt5\right)}\\\Rule{0px}{44px}{0px}b&=&\frac1{3+\sqrt5}\end{eqnarray}\]
Der Wert für \(b\) lässt sich aus \(\Phi\) ableiten, es ist nämlich \(b^{-1}=2\Phi+2\), und \(a\) ist das \(\sqrt{5/3}\)-Fache von \(b\). Das klingt etwas mühsam und konstruiert, fast ein wenig wie die oben erwähnten apophänischen Täuschungen, aber in diesem Fall gibt es tatsächlich einen echten Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt \(\Phi\). Deutlicher wird der Zusammenhang, wenn wir die Koordinaten der Stubsmutter betrachten: bei geeigneter Skalierung sind diese Koordinaten nämlich alle von der Form \[\left(0,\pm1,\pm\Phi\right)\] Das sind offensichtlich 24 Möglichkeiten, und die Hälfte davon, also 12, bilden die 12 Ecken eines Ikosaeders. Der Vollständigkeit halber können wir diese Konstruktion auch noch für die Symmetriegruppe \(I_h\) durchführen. Stubsmutter und Stubs sehen folgendermaßen aus:
Für ein Dreieck von \(a\)-\(b\)-Parametern mit einem Maximum von 1 für den Wert \(b\) hat die Stubsmutter ein \(b\), das die Lösung der Gleichung \[31x^6+91x^5+602x^4-250x^3-26x^2+14x-1=0\] ist, und \(a^2\) ist die Lösung der Gleichung \[120\,125x^6-1\,529\,375x^5+26\,986\,200x^4-25\,157\,750x^3+4\,083\,640x^2-112\,100x+841=0\] Numerische Werte sind 0,88100712074278298397166525… für \(a\) und 0,37203595323685090102189369… für \(b\).
Es ist wiederum möglich, Koordinaten anzugeben, allerdings ergeben sich nicht wirklich elegante und einleuchtende Werte. Sei der Wert \(\psi\) eine Lösung der Gleichung \[x^6-4x^4-x^3+4x^2+2x-1=0\] Eine etwas einfachere Definition von \(\psi\) ist die Lösung der Gleichung \[\psi^3-2\psi=\Phi\] Numerisch handelt es sich um den Wert 1,71556149969736783468127888… . Bei geeigneter Skalierung der Stubsmutter lassen sich die Koordinaten dann mit Hilfe von \(\psi\) ausdrücken, sie folgen jeweils einer der folgenden fünf Vorlagen: \[\begin{eqnarray}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(2\psi^5-6\psi^3+4\psi\right),\;\pm\left(2\psi^4-4\psi^2\right),\;\pm\left(2\psi^{10}-10\psi^8+18\psi^6-16\psi^4+8\psi^2\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(2\psi^7-6\psi^5+4\psi^3\right),\;\pm\left(\psi^{10}-6\psi^8+14\psi^6-16\psi^4+8\psi^2+\psi\right),\;\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5-\psi^4-8\psi^3+3\psi^2-1\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5+\psi^4-8\psi^3-3\psi^2+1\right),\;\pm\left(2\psi^3-4\psi\right),\;\pm\left(\psi^{10}-4\psi^8+4\psi^6-\psi\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5-\psi^4-8\psi^3+\psi^2+1\right),\;\pm\left(-2\psi^7+8\psi^5-10\psi^3+4\psi\right),\;\pm\left(\psi^{10}-4\psi^8+4\psi^6+\psi\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(2\psi^5-4\psi^3\right),\;\pm\left(-\psi^{10}+6\psi^8-14\psi^6+16\psi^4-8\psi^2+\psi\right),\;\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5+\psi^4-8\psi^3-\psi^2-1\right)\right)\end{eqnarray}\] Dabei sind jeweils gerade Permutationen der Koordinaten einer Vorlage erlaubt, außerdem beliebige Wahlen der Vorzeichen, das ergibt die 5•3•8 = 120 Ecken der Stubsmutter. Wenn wir außerdem fordern, dass in den drei Koordinaten die Zahl der vorangestellten Minuszeichen insgesamt gerade (also 0 oder 2) ist, erhalten wir die 60 Ecken des Stubs. Eine ungerade Zahl von Minuszeichen, also eine gerade Zahl von Pluszeichen, ergibt gerade das enantiomorphe Stubs. Das Wunder des Würfelstubs wiederholt sich allerdings nicht, denn \(\psi\) scheint keine besonderen magischen Fähigkeiten und Eigenschaften zu besitzen. Kommentar schreiben
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