Wir be­gin­nen mit einem Wür­fel, der auf jeder Seite 8 Punk­te be­sitzt, die an­fangs in der Mitte des Qua­drats sit­zen. Nun kön­nen wir Paare von Punk­ten um einen Be­trag \(a\) (roter Pfeil) in Rich­tung Kante ver­schie­ben, und an­schlie­ßend jedes Punk­te­paar um einen Be­trag \(b\) (blau­er Pfeil) aus­ein­an­der rü­cken:

Wir er­hal­ten damit 6•8 = 48 Punk­te, deren kon­ve­xe Hülle ein neues Po­ly­e­der ist, und zwar eines, das auf sol­che Art und Weise sym­me­trisch ist, dass alle 48 Punk­te un­ter­ein­an­der aus­tausch­bar sind, an­ders ge­sagt, für alle mög­li­chen Werte von \(a\) und \(b\) er­hal­ten wir je­weils ein eck­en­tran­si­ti­ves Po­ly­e­der. Die Menge sämt­li­cher mög­li­cher Werte von \(a\) und \(b\) kön­nen wir uns als ein recht­wink­lig-gleich­schenk­li­ges Drei­eck vor­stel­len, wobei jeder Punkt die­ses Drei­ecks einem eck­en­tran­si­ti­ven Po­ly­e­der mit Sym­me­trie­grup­pe \(O_h\) ent­spricht (die Sym­me­trie­grup­pe \(O_h\) ist die Sym­me­trie­grup­pe von He­xa­eder und Ok­ta­eder). Für sie­ben be­son­de­re Punk­te im \(a\)-\(b\)-Drei­eck er­hal­ten wir au­ßer­dem Po­ly­e­der, deren Flä­chen alle re­gu­lär sind, und eck­en­tran­si­ti­ve Po­ly­e­der mit re­gu­lä­ren Flä­chen hei­ßen „uni­form“.

Eine ähn­li­che Kon­struk­ti­on lässt sich auch für Te­tra­eder und Do­de­ka­eder statt He­xa­eder durch­füh­ren, und sie lässt sich sogar für hö­he­re Di­men­sio­nen ver­all­ge­mei­nern. So viel zu den ar­chi­me­di­schen In­ter­po­la­tio­nen, nun zu den Snubs oder Stub­sen.

Bei einem Po­ly­e­der, des­sen Flä­chen aus lau­ter Po­ly­go­nen mit einer ge­ra­den An­zahl von Ecken be­ste­hen, wie das etwa bei dem ge­kapp­ten Cu­bok­ta­eder mit sechs Acht­ecken, acht Sechs­ecken und zwölf Qua­dra­ten der Fall ist, kön­nen wir die Ecken in weiße und schwar­ze Ecken auf­tei­len der­art, dass eine weiße Ecke nur schwar­ze Ecken als Nach­barn hat, und um­ge­kehrt. Wir kön­nen nun ein neues Po­ly­e­der bil­den, indem wir ent­we­der alle wei­ßen oder alle schwar­zen Ecken zer­stö­ren und die kon­ve­xe Hülle der ver­blei­ben­den Ecken bil­den.

In die­ser Ab­bil­dung habe ich als Aus­gangs­punkt das uni­for­me ge­kapp­te Cu­bok­ta­eder ge­wählt, und in mei­ner ur­sprüng­li­chen Skiz­ze schrieb ich: „Die gel­ben Drei­ecke sind nicht gleich­sei­tig, aber auch hier kön­nen wir die­sen De­fekt leicht aus­glei­chen, indem wir die Ecken ein klein wenig ver­schie­ben und zu kurz ge­ra­te­ne Kan­ten aus­ein­an­der zie­hen.“ Es ist aber gar nicht zwin­gend nötig, die Kon­struk­ti­on mit einem uni­for­men be­schnit­te­nen Cu­bok­ta­eder zu be­gin­nen, des­sen hal­bier­te Ecken­bi­par­ti­ti­on zu einem Ge­bil­de mit un­gleich­sei­ti­gen Drei­ecken führt. Durch eine ge­eig­ne­te Wahl der Pa­ra­me­ter \(a\) und \(b\) kön­nen wir ein an­de­res eck­en­tran­si­ti­ves Po­ly­e­der fin­den, ein nicht-uni­for­mes be­schnit­te­nes Cu­bok­ta­eder, des­sen hal­bier­te Ecken­bi­par­ti­ti­on un­mit­tel­bar uni­form ist.

In­ner­halb der \(a\)-\(b\)-Pa­ra­me­ter­ebe­ne liegt die­ses Po­ly­e­der, das ich „die Stubs­mut­ter der Sym­me­trie­grup­pe \(O_h\)“ nenne, ein klein wenig vom uni­for­men be­schnit­te­nen Cu­bok­ta­eder ent­fernt. Es liegt auf kei­ner der Ver­bin­dungs­ge­ra­den der eck­en­tran­si­ti­ven Po­ly­e­der der Sym­me­trie­grup­pe \(O_h\), was be­deu­tet, dass keine sei­ner Sei­ten­flä­chen re­gu­lär ist.

Das fol­gen­de Schau­bild zeigt noch­mals Stubs­mut­ter und Stubs, wie sie mit­ein­an­der zu­sam­men hän­gen. Dabei ver­wen­de ich WebGL (und na­tür­lich Ja­va­script), und das ganze Ge­bil­de lässt sich mit der Maus dre­hen.

Es stellt sich die Frage, wel­che Werte die Pa­ra­me­ter \(a\) und \(b\) der Stubs­mut­ter an­neh­men, wenn wir an­neh­men, dass sie für ein re­gu­lä­res He­xa­eder die Werte \(a=b=1\) an­neh­men und für ein re­gu­lä­res Ok­ta­eder die Werte \(a=b=0\). Und die halb­wegs ver­blüf­fen­de Ant­wort ist, dass die \(a\)-\(b\)-Pa­ra­me­ter die­ser Stubs­mut­ter mit der Tri­bo­nac­ci-Kon­stan­te zu­sam­men hän­gen. Um aber nun zu er­klä­ren, was die Tri­bo­nac­ci-Kon­stan­te ist, muss ich erst ein­mal er­klä­ren, was die Fi­bo­nac­ci-Kon­stan­te ist, und dazu muss ich erst ein­mal er­klä­ren, was die Fi­bo­nac­ci-Folge ist.

Die Fi­bo­nac­ci-Folge ist fol­gen­der­ma­ßen de­fi­niert: die ers­ten bei­den Fol­gen­glie­der sind \(f_0=0\) und \(f_1=1\), und für alle wei­te­ren Fol­gen­glie­der mit \(n\gt1\) gilt:

\[f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\]

Die ers­ten Glie­der der Folge sind dem­ent­spre­chend 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Die Folge steigt „ir­gend­wie ex­po­nen­ti­ell“ an. Die­ses „ir­gend­wie“ kön­nen wir etwas ge­nau­er aus­drü­cken: das Ver­hält­nis \(f_{n+1}/f_n\) strebt für wach­sen­des \(n\) gegen einen fes­ten Grenz­wert \(\Phi\), und die Folge ver­hält sich asym­pto­tisch mit wach­sen­dem \(n\) wie \(\Phi^n\). Der Wert \(\Phi\) lässt sich leicht aus­rech­nen: es ist asym­pto­tisch \(f_{n-1}=\Phi\cdot{}f_{n-2}\) und \(f_n=\Phi^2\cdot{}f_{n-2}\), und dem­ent­spre­chend

\[\begin{eqnarray}f_n&=&f_{n-1}+f_{n-2}\\\Rule{0px}{28px}{0px}\Phi^2\cdot{}f_{n-2}&=&\Phi\cdot{}f_{n-2}+f_{n-2}\\\Rule{0px}{28px}{0px}\Phi^2&=&\Phi+1\end{eqnarray}\]

Nun müs­sen wir nur noch eine qua­dra­ti­sche Glei­chung lösen, und wir er­hal­ten als po­si­ti­ve Lö­sung:

\[\Phi=\frac{\sqrt5+1}2\]

Diese Zahl heißt „Gol­de­ner Schnitt“ und taucht an ver­schie­de­nen Stel­len so­wohl in der Geo­me­trie als auch in der Natur auf. Es gibt ei­ni­ge Men­schen, die einen Sport dar­aus ma­chen, \(\Phi\) an den er­staun­lichs­ten Stel­len auf­zu­spü­ren, al­ler­dings geht diese Be­schäf­ti­gung des Öf­te­ren in Apophä­nie und eso­te­ri­schen Blöd­sinn über. Bei den pla­to­ni­schen Kör­pern lässt sich in ver­schie­de­nen Zu­sam­men­hän­gen der gol­de­ne Schnitt ent­de­cken, da al­ler­dings das Ver­hält­nis von Sehne und Kante eines re­gu­lä­ren Fünf­ecks ge­ra­de der gol­de­ne Schnitt ist, ist das nicht über­mä­ßig ver­wun­der­lich.

Das Sche­ma zur Bil­dung der Fi­bo­nac­ci-Folge lässt sich leicht auf ver­schie­de­ne Arten ab­wan­deln. Eine der ein­fachs­ten und na­he­lie­gends­ten Ab­wand­lun­gen be­steht darin, die Summe der letz­ten drei statt der Summe der letz­ten bei­den Fol­gen­glie­der zu bil­den, um das nächs­te Fol­gen­glied zu er­mit­teln. Die sich so er­ge­ben­de Folge heißt „Tri­bo­nac­ci-Folge“, und die ers­ten Glie­der der Folge sind 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, … . Auch diese Folge steigt wie­der asym­pto­tisch ex­po­nen­ti­ell an, und wie­der kön­nen wir nach dem asym­pto­ti­schen Quo­ti­en­ten \(T\) auf­ein­an­der­fol­gen­der Glie­der fra­gen, und mit einem ähn­li­chen Ar­gu­ment er­hal­ten wir

\[T^3=T^2+T+1\]

Diese Glei­chung drit­ten Gra­des lässt sich noch halb­wegs mit ver­tret­ba­rem Auf­wand lösen und er­gibt für \(T\) den Wert

\[T=\frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}3\]

Nu­me­risch ist das die Zahl 1,83928675521416113255185256… . Diese Zahl \(T\), die „Tri­bo­nac­ci-Kon­stan­te“, ist weit we­ni­ger be­kannt als der gol­de­ne Schnitt. Sie taucht bei ei­ni­gen kom­bi­na­to­ri­schen Pro­ble­men auf, al­ler­dings ist ihre De­fi­ni­ti­on immer noch ein­fach genug, dass ihr Auf­tau­chen in un­ter­schied­li­chen Pro­ble­men nicht zwin­gend auf einen in­ne­ren und in­halt­li­chen Zu­sam­men­hang die­ser Pro­ble­me schlie­ßen lässt.

Je­den­falls er­hal­ten wir für die Stubs­mut­ter die Werte

\[\begin{eqnarray}a&=&T^{-1}\\b&=&T^{-2}\end{eqnarray}\]

Wir kön­nen das auch so aus­drü­cken: die Ecken der Stubs­mut­ter der Sym­me­trie­grup­pe \(O_h\) sind die 48 Per­mu­ta­tio­nen von Punk­ten der Form

\[\left(\pm1,\pm{}T,\pm{}T^2\right)\]

Für die \(a\)-\(b\)-Dar­stel­lung gehe ich von einem um­schlie­ßen­den Wür­fel der Kan­ten­län­ge 2 aus, so dass dafür diese Punk­te noch mit dem Fak­tor \(T^{-2}\) ska­liert wer­den müs­sen, aber diese Ska­lie­rung ist na­tür­lich ziem­lich will­kür­lich und un­we­sent­lich.

Das Stubs selbst hat na­tür­lich nur halb so viele Ecken wie seine Stubs­mut­ter, also 24 Ecken mit Ko­or­di­na­ten die­ser Form, und zwar sol­che mit ent­we­der nur ge­ra­den oder nur un­ge­ra­den Per­mu­ta­tio­nen der Grund­form der Ko­or­di­na­ten, je nach­dem, ob es sich um das rechts­hän­di­ge oder links­hän­di­ge Stubs han­delt. Eine ge­ra­de (bzw. un­ge­ra­de) Per­mu­ta­ti­on ist eine Per­mu­ta­ti­on, die sich aus einer ge­ra­den (bzw. un­ge­ra­den) Zahl ele­men­ta­rer Per­mu­ta­tio­nen zu­sam­men set­zen lässt, näm­lich in un­se­rem Fall dem Ver­tau­schen zwei­er Ko­or­di­na­ten und dem Wech­sel eines Vor­zei­chens. Eine al­ter­na­ti­ve For­mu­lie­rung wäre: die Ko­or­di­na­ten eines Stubs ent­ste­hen, wenn wir eine ge­ra­de An­zahl von Ver­tau­schun­gen der Ko­or­di­na­ten mit einer ge­ra­den An­zahl von Mi­nus­zei­chen oder eine un­ge­ra­de An­zahl von Ver­tau­schun­gen der Ko­or­di­na­ten mit einer un­ge­ra­den An­zahl von Mi­nus­zei­chen kom­bi­nie­ren. Die an­de­ren 24 Ecken sind die Ecken des spie­gel­bild­li­chen (oder „en­an­tio­mor­phen“) Stubs. Die bei­den Stub­se selbst haben, als chi­ra­le Po­ly­e­der, die Sym­me­trie­grup­pe \(O\), wäh­rend die Stubs­mut­ter am­phi­chi­ral (mit ihrem ei­ge­nen Spie­gel­bild iden­tisch) ist.

Einer der drei­zehn ar­chi­me­di­schen Kör­per hängt damit auf das Engs­te mit der Tri­bo­nac­ci-Kon­stan­te zu­sam­men, und damit stellt sich die Frage, wie die­ser Zu­sam­men­hang zu­stan­de kommt. Für ge­wöhn­lich drü­cke ich mich bei die­sen im lo­cke­ren Plau­der­ton ge­hal­te­nen Skiz­zen ja um Be­wei­se herum, aber in die­sem Fall kann ein Be­weis, dass die Punk­te des Stubs ge­ra­de die Form ge­ra­der Per­mu­ta­tio­nen der Ko­or­di­na­ten \(\left(\pm1,\pm{}T,\pm{}T^2\right)\) be­zie­hungs­wei­se nach ent­spre­chen­der Ska­lie­rung von \(\left(\pm{}T^{-2},\pm{}T^{-1},\pm1\right)\) be­sit­zen, ein wenig Licht auf die Frage wer­fen, wieso in die­sen Ko­or­di­na­ten die Tri­bo­nac­ci-Kon­stan­te auf­taucht. Glück­li­cher­wei­se lässt sich ein sol­cher Be­weis recht ein­fach mit ele­men­ta­ren Mit­teln füh­ren.

Zu­nächst ein­mal haben of­fen­sicht­lich alle Po­ly­e­der, die sich durch \(a\)-\(b\)-Ver­schie­bun­gen in­ner­halb von Wür­fel­sei­ten kon­stru­ie­ren las­sen, Ecken mit Ko­or­di­na­ten, die Per­mu­ta­tio­nen der Ko­or­di­na­ten \(\left(\pm{}a,\pm{}b,\pm1\right)\) sind. Wir kön­nen nun drei die­ser Ecken her­aus­grei­fen, die im Stubs zu Ecken eines Drei­ecks wer­den, etwa die drei Ecken

\[\begin{eqnarray}P_1&=&\left(a,b,1\right)\\P_2&=&\left(-b,a,1\right)\\P_3&=&\left(b,1,a\right)\end{eqnarray}\]

Nun su­chen wir Werte \(a\) und \(b\) der­art, dass die­ses Drei­eck gleich­sei­tig wird, das heißt, es soll gel­ten

\[\overline{P_1P_2}=\overline{P_2P_3}=\overline{P_3P_1}\]

Damit haben wir zwei Glei­chun­gen und zwei Un­be­kann­te und kön­nen lösen:

\[\begin{eqnarray}\overline{P_1P_2}&=&\overline{P_3P_1}\\\Rule{0px}{32px}{0px}2a^2+2b^2&=&2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\\\Rule{0px}{32px}{0px}b&=&\frac{1-a}{1+a}\\\Rule{0px}{48px}{0px}\overline{P_1P_2}&=&\overline{P_2P_3}\\\Rule{0px}{32px}{0px}2a^2+2b^2&=&4b^2+2a^2-4a+2\\\Rule{0px}{32px}{0px}b^2-2a+1&=&0\\\Rule{0px}{42px}{0px}\left(\frac{1-a}{1+a}\right)^2-2a+1&=&0\\\Rule{0px}{32px}{0px}1&=&a+a^2+a^3\end{eqnarray}\]

Aus der letz­ten Zeile er­gibt sich aber so­fort, dass \(a\) der Kehr­wert von \(T\) sein muss, da

\[\begin{eqnarray}a^{-3}&=&a^{-2}+a^{-1}+1\\\Rule{0px}{32px}{0px}T^3&=&T^2+T+1\end{eqnarray}\]

Au­ßer­dem folgt aus \(1=a+a^2+a^3\) auch \(a^2=\frac{1-a}{1+a}\) und damit \(b=a^2\).

Damit haben wir ge­zeigt, dass die Ecken der Stubs­mut­ter tat­säch­lich Per­mu­ta­tio­nen von \(\left(\pm{}T^{-2},\pm{}T^{-1},\pm1\right)\) be­zie­hungs­wei­se die Ecken des Stubs die ge­ra­den Per­mu­ta­tio­nen die­ser Ko­or­di­na­ten sind. Es wird damit auch klar, dass der Zu­sam­men­hang sich da­durch er­gibt, dass wir ein Glei­chungs­sys­tem mit zwei Glei­chun­gen haben, wobei die ein­zel­nen Glei­chun­gen auf eu­kli­di­schen Ab­stän­den be­ru­hen, bei denen die ein­zel­nen Terme qua­driert wer­den, so dass die Pa­ra­me­ter \(a\) und \(b\) Lö­sun­gen von Glei­chun­gen höchs­ten vier­ten Gra­des und in die­sem Fall sogar nur drit­ten Gra­des sind.

Die Kon­struk­ti­on eines Stubs durch Eli­mi­nie­rung einer Ecken­par­ti­ti­on eines Po­ly­e­ders mit bi­par­ti­tem Ecken­gra­phen lässt sich nicht nur für die Sym­me­trie­grup­pe des Po­ly­e­ders \(\left\{4,3\right\}\) durch­füh­ren, son­dern all­ge­mein für Ka­che­lun­gen der Sphä­re, der eu­kli­di­schen oder der hy­per­bo­li­schen Ebene der Form \(\left\{n,3\right\}\):

Für die Sym­me­trie­grup­pe \(T_h\) wür­den wir an sich einen chi­ra­len Stubs mit Sym­me­trie­grup­pe \(T\) er­war­ten. Tat­säch­lich ist der Stubs die­ser Sym­me­trie­grup­pe al­ler­dings ge­ra­de das am­phi­chi­ra­le Iko­sa­eder (mit Sym­me­trie­grup­pe \(I_h\)):

Die Größe der zu­ge­hö­ri­gen Pa­ra­me­ter \(a\) und \(b\) hän­gen davon ab, wel­che Kan­ten­län­ge das Aus­gangs­te­tra­eder hat. In mei­ner ur­sprüng­li­chen Skiz­ze bin ich davon aus­ge­gan­gen, dass \(a\) in allen Fäl­len ma­xi­mal die Länge 1 an­neh­men kann, und für die Sym­me­trie­grup­pe \(T_h\) be­deu­tet das, dass \(b\) höchs­tens den Wert \(\sqrt{3}\) an­neh­men kann. Im Fol­gen­den finde ich es je­doch ein­fa­cher, das \(a\)-\(b\)-Drei­eck so zu nor­mie­ren, dass \(a\) ma­xi­mal den Wert \(\frac13\sqrt{3}\) und \(b\) ma­xi­mal den Wert 1 an­neh­men kann. In die­sem Fall ist für die Stubs­mut­ter

\[\begin{eqnarray}a&=&\frac5{\sqrt3\left(5+3\sqrt5\right)}\\\Rule{0px}{44px}{0px}b&=&\frac1{3+\sqrt5}\end{eqnarray}\]

Der Wert für \(b\) lässt sich aus \(\Phi\) ab­lei­ten, es ist näm­lich \(b^{-1}=2\Phi+2\), und \(a\) ist das \(\sqrt{5/3}\)-Fache von \(b\). Das klingt etwas müh­sam und kon­stru­iert, fast ein wenig wie die oben er­wähn­ten apophä­ni­schen Täu­schun­gen, aber in die­sem Fall gibt es tat­säch­lich einen ech­ten Zu­sam­men­hang mit dem gol­de­nen Schnitt \(\Phi\). Deut­li­cher wird der Zu­sam­men­hang, wenn wir die Ko­or­di­na­ten der Stubs­mut­ter be­trach­ten: bei ge­eig­ne­ter Ska­lie­rung sind diese Ko­or­di­na­ten näm­lich alle von der Form

\[\left(0,\pm1,\pm\Phi\right)\]

Das sind of­fen­sicht­lich 24 Mög­lich­kei­ten, und die Hälf­te davon, also 12, bil­den die 12 Ecken eines Iko­sa­eders.

Der Voll­stän­dig­keit hal­ber kön­nen wir diese Kon­struk­ti­on auch noch für die Sym­me­trie­grup­pe \(I_h\) durch­füh­ren. Stubs­mut­ter und Stubs sehen fol­gen­der­ma­ßen aus:

Für ein Drei­eck von \(a\)-\(b\)-Pa­ra­me­tern mit einem Ma­xi­mum von 1 für den Wert \(b\) hat die Stubs­mut­ter ein \(b\), das die Lö­sung der Glei­chung

\[31x^6+91x^5+602x^4-250x^3-26x^2+14x-1=0\]

ist, und \(a^2\) ist die Lö­sung der Glei­chung

\[120\,125x^6-1\,529\,375x^5+26\,986\,200x^4-25\,157\,750x^3+4\,083\,640x^2-112\,100x+841=0\]

Nu­me­ri­sche Werte sind 0,88100712074278298397166525… für \(a\) und 0,37203595323685090102189369… für \(b\).

Es ist wie­der­um mög­lich, Ko­or­di­na­ten an­zu­ge­ben, al­ler­dings er­ge­ben sich nicht wirk­lich ele­gan­te und ein­leuch­ten­de Werte. Sei der Wert \(\psi\) eine Lö­sung der Glei­chung

\[x^6-4x^4-x^3+4x^2+2x-1=0\]

Eine etwas ein­fa­che­re De­fi­ni­ti­on von \(\psi\) ist die Lö­sung der Glei­chung

\[\psi^3-2\psi=\Phi\]

Nu­me­risch han­delt es sich um den Wert 1,71556149969736783468127888… . Bei ge­eig­ne­ter Ska­lie­rung der Stubs­mut­ter las­sen sich die Ko­or­di­na­ten dann mit Hilfe von \(\psi\) aus­drü­cken, sie fol­gen je­weils einer der fol­gen­den fünf Vor­la­gen:

\[\begin{eqnarray}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(2\psi^5-6\psi^3+4\psi\right),\;\pm\left(2\psi^4-4\psi^2\right),\;\pm\left(2\psi^{10}-10\psi^8+18\psi^6-16\psi^4+8\psi^2\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(2\psi^7-6\psi^5+4\psi^3\right),\;\pm\left(\psi^{10}-6\psi^8+14\psi^6-16\psi^4+8\psi^2+\psi\right),\;\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5-\psi^4-8\psi^3+3\psi^2-1\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5+\psi^4-8\psi^3-3\psi^2+1\right),\;\pm\left(2\psi^3-4\psi\right),\;\pm\left(\psi^{10}-4\psi^8+4\psi^6-\psi\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5-\psi^4-8\psi^3+\psi^2+1\right),\;\pm\left(-2\psi^7+8\psi^5-10\psi^3+4\psi\right),\;\pm\left(\psi^{10}-4\psi^8+4\psi^6+\psi\right)\right)\\\Rule{0px}{32px}{0px}&\left(\Rule{0px}{20px}{0px}\pm\left(2\psi^5-4\psi^3\right),\;\pm\left(-\psi^{10}+6\psi^8-14\psi^6+16\psi^4-8\psi^2+\psi\right),\;\pm\left(\psi^{13}-7\psi^{11}+19\psi^9-26\psi^7+20\psi^5+\psi^4-8\psi^3-\psi^2-1\right)\right)\end{eqnarray}\]

Dabei sind je­weils ge­ra­de Per­mu­ta­tio­nen der Ko­or­di­na­ten einer Vor­la­ge er­laubt, au­ßer­dem be­lie­bi­ge Wah­len der Vor­zei­chen, das er­gibt die 5•3•8 = 120 Ecken der Stubs­mut­ter. Wenn wir au­ßer­dem for­dern, dass in den drei Ko­or­di­na­ten die Zahl der vor­an­ge­stell­ten Mi­nus­zei­chen ins­ge­samt ge­ra­de (also 0 oder 2) ist, er­hal­ten wir die 60 Ecken des Stubs. Eine un­ge­ra­de Zahl von Mi­nus­zei­chen, also eine ge­ra­de Zahl von Plus­zei­chen, er­gibt ge­ra­de das en­an­tio­mor­phe Stubs. Das Wun­der des Wür­fel­stubs wie­der­holt sich al­ler­dings nicht, denn \(\psi\) scheint keine be­son­de­ren ma­gi­schen Fä­hig­kei­ten und Ei­gen­schaf­ten zu be­sit­zen.